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                  4．本模塊中設(shè)置的證明內(nèi)容是對學(xué)生已學(xué)過的基本證明方法的總結(jié)。在教學(xué)中，應(yīng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識各種證明方法的特點(diǎn)，體會證明的必要性。對證明的技巧性不宜作過高的要求。
                  5．框圖的教學(xué)，應(yīng)從分析實(shí)例入手，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用框圖表示數(shù)學(xué)計算與證明過程中的主要思路與步驟、實(shí)際問題中的工序流程、某一數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系等。使學(xué)生在運(yùn)用框圖的過程中理解流程圖和結(jié)構(gòu)圖的特征，掌握框圖的用法，體驗(yàn)用框圖表示解決問題過程的優(yōu)越性。
                  6．在復(fù)數(shù)概念與運(yùn)算的教學(xué)中，應(yīng)注意避免繁瑣的計算與技巧訓(xùn)練。對于感興趣的學(xué)生，可以安排一些引申的內(nèi)容，如求x3=1的根、介紹代數(shù)學(xué)基本定理等。

                  參考案例
                  例1
                  某地區(qū)羊患某種病的概率是0.4，且每只羊患病與否是彼此獨(dú)立的。今研制一種新的預(yù)防藥，任選5只羊做實(shí)驗(yàn)，結(jié)果這5只羊服用此藥后均未患病。問此藥是否有效。
                  初看起來，會認(rèn)為這藥一定有效，因?yàn)榉�藥的羊均未患病。但�?xì)想一下，會有問題，因?yàn)榇蟛糠盅虿环�藥也不會患病，患病的羊只�?.4左右。這5只羊都未患病，未必是藥的作用。分析這問題的一個自然想法是：若藥無效，隨機(jī)抽取5只羊都不患病的可能性大不大。若這件事發(fā)生的概率很小，幾乎不會發(fā)生，那么現(xiàn)在我們這幾只羊都未患病，應(yīng)該是藥的效果，即藥有效。
                  現(xiàn)假設(shè)藥無效，5只羊都不生病的概率是
                  (1-0.4)5≈0.078.
                  這個概率很小，該事件幾乎不會發(fā)生，但現(xiàn)在它確實(shí)發(fā)生了，說明我們的假設(shè)不對，藥是有效的。
                  這里的分析思想有些像反證法，但并不相同。給定假設(shè)后，我們發(fā)現(xiàn)，一個概率很小幾乎不會發(fā)生的事件卻發(fā)生了，從而否定我們的"假設(shè)"。
                  應(yīng)該指出的是，當(dāng)我們作出判斷"藥是有效的"時，是可能犯錯誤的。犯錯誤的概率是0.078。也就是說，我們有近92%的把握認(rèn)為藥是有效的。
                  例2 探求凸多面體的面、頂點(diǎn)、棱之間的數(shù)量關(guān)系（歐拉公式的發(fā)現(xiàn)）。
                  例3 平面上的圓與空間中的球的類比
                  平面幾何中的概念 立體幾何中的類似概念
                  圓 球
                  圓的切線 球的切面
                  圓的弦 球的截面圓
                  圓周長 球的表面積
                  圓面積 球的體積
                  圓的性質(zhì) 球的性質(zhì)
                  圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦。 球心與截面圓（不經(jīng)過圓心的小截面圓）圓心的連線垂直于截面圓。
                  與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長。
                  與球心距離相等的兩個截面圓相等；與球心距離不等的兩個截面圓不等，距球心較近的截面圓較大。
                  …… ……
                  例4 零件加工過程的流程圖
                  工廠加工某種零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工。每道工序完成時，都要對產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。粗加工的合格品進(jìn)入精加工，不合格品進(jìn)入返修加工；返修加工合格品進(jìn)入精加工，不合格品作為廢品處理；精加工合格品為成品，不合格品為廢品。請用流程圖表示這個零件的加工過程。
                  例5 數(shù)學(xué)建模過程的流程圖如下。

                  根據(jù)這個流程圖，結(jié)合一個具體實(shí)例，說明數(shù)學(xué)建模的過程。
                  系列2
                  選修2-1
                  在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量（簡稱空間向量）與立體幾何。
                  正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代社會公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)。無論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確地運(yùn)用邏輯用語表達(dá)自己的思維。在本模塊中，學(xué)生將在義務(wù)教育階段的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)常用邏輯用語，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，從而更好地進(jìn)行交流。
                  在必修階段學(xué)習(xí)平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上，在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程，了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。
                  用空間向量處理立體幾何問題，提供了新的視角�？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個十分有效的工具。在本模塊中，學(xué)生將在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，把平面向量及其運(yùn)算推廣到空間，運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問題，體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想像能力和幾何直觀能力。
                  內(nèi)容與要求
                  1．常用邏輯用語（約8課時）
                  （1）命題及其關(guān)系
                  ① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題。
                  ② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系。
                  （2）簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
                  通過數(shù)學(xué)實(shí)例，了解"或"、"且"、"非"邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義。
                  （3）全稱量詞與存在量詞
                  ① 通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義。
                  ② 能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定。
                  2．圓錐曲線與方程（約16課時)
                  （1）圓錐曲線
                  ① 了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。
                  ② 經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)。
                  ③ 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。
                  ④ 能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題。
                  ⑤ 通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。
                  （2） 曲線與方程
                  結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。
                  3．空間向量與立體幾何(約12課時)
                  （1）空間向量及其運(yùn)算
                  ① 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程。
                  ② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。
                  ③ 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。
                  ④ 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。
                  　 （2）空間向量的應(yīng)用
                  ① 理解直線的方向向量與平面的法向量。
                  ② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。
                  ③ 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）（參見例1、例2、例3）。
                  ④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。
                  說明與建議
                  1．在常用邏輯用語教學(xué)中，應(yīng)特別注意以下幾個問題。
                  （1）這里考慮的命題是指條件和結(jié)論明顯的命題，對"命題的逆命題、否命題與逆否命題"只要求做一般性了解，重點(diǎn)關(guān)注四種命題的相互關(guān)系和命題的必要條件、充分條件、充要條件。
                  （2）對邏輯聯(lián)結(jié)詞"或"、"且"、"非"的含義，只要求通過數(shù)學(xué)實(shí)例加以了解，幫助學(xué)生正確地表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。
                  （3）對于量詞，重在理解它們的含義，不要追求它們的形式化定義。
                  （4）注意引導(dǎo)學(xué)生在使用常用邏輯用語的過程中，掌握常用邏輯用語的用法，糾正出現(xiàn)的邏輯錯誤，體會運(yùn)用常用邏輯用語表述數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡潔性。避免對邏輯用語的機(jī)械記憶和抽象解釋，不要求使用真值表。
                  2．在引入圓錐曲線時，應(yīng)通過豐富的實(shí)例（如行星運(yùn)行軌道、拋物運(yùn)動軌跡、探照燈的鏡面），使學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用。
                  教師應(yīng)向?qū)W生展示平面截圓錐得到橢圓的過程，使學(xué)生加深對圓錐曲線的理解。有條件的學(xué)校應(yīng)充分發(fā)揮現(xiàn)代教育技術(shù)的作用，利用計算機(jī)演示平面截圓錐所得的圓錐曲線（參見系列1-1案例中的例1）。
                  3．教師可以向?qū)W生展現(xiàn)圓錐曲線在實(shí)際中的應(yīng)用，例如，投擲鉛球的運(yùn)行軌跡、衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡。
                  4．曲線與方程的教學(xué)應(yīng)以學(xué)習(xí)過的曲線為主，注重使學(xué)生體會曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。對于感興趣的學(xué)生，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生了解圓錐曲線的離心率與統(tǒng)一方程。有條件的學(xué)校應(yīng)充分發(fā)揮現(xiàn)代教育技術(shù)的作用，通過一些軟件向?qū)W生演示方程中參數(shù)的變化對方程所表示的曲線的影響，使學(xué)生進(jìn)一步理解曲線與方程的關(guān)系。
                  5．空間向量的教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法，經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程。教學(xué)過程中應(yīng)注意維數(shù)增加所帶來的影響。
                  6．在教學(xué)中，可以鼓勵學(xué)生靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題。
                  參考案例
                  例1 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中， ， ， ， ， 是棱 的中點(diǎn)，證明： 。

                  例2 已知矩形 和矩形 垂直，以 為公共邊，但它們不在同一平面上。點(diǎn) ， 分別在對角線 ， 上，且， 。證明： ∥平面 .

                  例3已知單位正方體 ， , 分別是棱 和 的中點(diǎn)。試求：
                  ① 與 所成角；
                  ② AF與平面BEB1所成角；
                  ③ 二面角C1-DB-B1的大小。
                  選修2-2
                  在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入。
                  微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在本模塊中，學(xué)生將通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)概念，了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。通過該模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生將體會導(dǎo)數(shù)的思想及其豐富內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，了解微積分的文化價值。
                  "推理與證明"是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新的結(jié)論的推理過程。合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。在本模塊中，學(xué)生將通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法,包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。
                  數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的客觀需求和背景，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充。在本模塊中，學(xué)生將在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會數(shù)系擴(kuò)充中人類理性思維的作用。
                  內(nèi)容與要求
                  1．導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（約24課時）
                  （1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義
                  ①
                  通過對大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵（參見選修1-1案例中的例2、例3）。
                  ②通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
                  （2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
                  ① 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=x3,y=1/x, y=x 的導(dǎo)數(shù)。
                  ②
                  能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b））的導(dǎo)數(shù)。

                  ③ 會使用導(dǎo)數(shù)公式表。
                  （3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
                  ①
                  結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（參見選修1-1案例中的例4）；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

                  ②
                  結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。
                  （4）生活中的優(yōu)化問題舉例。
                  例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用。（參見選修1-1案例中的例5）
                  （5）定積分與微積分基本定理
                  ①
                  通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。

                  ② 通過實(shí)例（如變速運(yùn)動物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義。（參見例1）
                  （6）數(shù)學(xué)文化
                  收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。具體要求見本《標(biāo)準(zhǔn)》中"數(shù)學(xué)文化"的要求。（參見第91頁）
                  2．推理與證明（約8課時）
                  （1）合情推理與演繹推理
                  ①結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用（參見選修2-2中的例2、例3）。
                  ②結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理。
                  ③通過具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。
                  （2）直接證明與間接證明
                  ①結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。
                  ②結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法--反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。
                  （3）數(shù)學(xué)歸納法
                  了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。
                  （4）數(shù)學(xué)文化
                  ①通過對實(shí)例的介紹（如歐幾里德《幾何原本》、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨(dú)立宣言》、牛頓三定律），體會公理化思想。
                  ②介紹計算機(jī)在自動推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用。
                  3．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（約4課時）
                  （1）在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。
                  （2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。
                  （3）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義。
                  （4）能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義。
                  說明與建議
                  1．本模塊中，導(dǎo)數(shù)的概念是通過實(shí)際背景和具體應(yīng)用的實(shí)例引入的。教學(xué)中，可以通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)。通過感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實(shí)際問題中的作用，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。這樣處理的目的是幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)的背景、思想和作用。

                  2．在教學(xué)中，要防止將導(dǎo)數(shù)僅僅作為一些規(guī)則和步驟來學(xué)習(xí)，而忽視它的思想和價值。應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識到，任何事物的變化率都可以用導(dǎo)數(shù)來描述。
                  3．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題的過程中，將研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法與初等方法作比較，以體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。
                  4．教學(xué)中應(yīng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理去探索、猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論，并用演繹推理確認(rèn)所得結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想。教學(xué)的重點(diǎn)在于通過具體實(shí)例理解合情推理與演繹推理，而不追求對概念的抽象表述。
                  5．本模塊中設(shè)置的證明內(nèi)容是對學(xué)生已學(xué)過的基本證明方法的總結(jié)。在教學(xué)中，應(yīng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識各種證明方法的特點(diǎn)，體會證明的必要性。對證明的技巧性不宜作過高的要求。

                  6．教師應(yīng)借助具體實(shí)例讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，對證明的問題要控制難度。
                  7．在復(fù)數(shù)概念與運(yùn)算的教學(xué)中，應(yīng)注意避免繁瑣的計算與技巧訓(xùn)練。對于感興趣的學(xué)生，可以安排一些引申的內(nèi)容，如求x3=1的根，介紹代數(shù)學(xué)基本定理等。

                  參考案例
                  例1 一個物體依照 規(guī)律在直線上運(yùn)動，我們已經(jīng)知道，其在某一時刻 的運(yùn)動速度 （即瞬時速度或瞬時變化率）為在 時刻的導(dǎo)數(shù)，即
                  。今考慮 在 到 之間位置的總變化。我們把區(qū)間分割成 個小區(qū)間，不妨假設(shè)小區(qū)間的長度相等，其長度為
                  。對每一個小區(qū)間，我們假設(shè) 的變化率近似為某一常量，于是我們可以說
                  的變化率 時間
                  在第一個小區(qū)間內(nèi)，即從 到 ，假設(shè) 的變化率近似地為 于是有
                  ，
                  同樣，對第二個小區(qū)間，即從 到 ，假設(shè) 的變化率近似地為 因此有
                  ， ，
                  等等。把在所有小區(qū)間上得到的位置變化近似值全部加在一起，得到
                  的總變化= 。
                  我們可以把 在 到 之間位置的總變化寫成 。另一方面，當(dāng)分割無限加細(xì)、 趨于無窮時，和式
                  =
                  的極限就是定積分 或 ，也就是 在 到 之間位置的總變化。于是，我們可得到以下結(jié)論：
                  = = ，
                  也就是說，變化率的定積分給出了總的變化。
                  特別地，當(dāng)物體作勻速運(yùn)動時，即 時，

                  當(dāng)物體作勻加速運(yùn)動時，即 （其中 是常數(shù)）時，
                  。
                  一般地，如果 是連續(xù)函數(shù)，并且 ，那么

                  這就是微積分基本定理。這里給出的并不是非常嚴(yán)格的證明，但是，他反映了微積分基本定理的基本思想，反映了微分（導(dǎo)數(shù)）與積分的聯(lián)系。
                  選修2-3
                  在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)計數(shù)原理、統(tǒng)計案例、概率。
                  計數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對象之一，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問題提供了思想和工具。在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)計數(shù)基本原理、排列、組合、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，了解計數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，會解決簡單的計數(shù)問題。
                  學(xué)生將在必修課程學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)某些離散型隨機(jī)變量分布列及其均值、方差等內(nèi)容，初步學(xué)會利用離散型隨機(jī)變量思想描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象的方法，并能用所學(xué)知識解決一些簡單的實(shí)際問題，進(jìn)一步體會概率模型的作用及運(yùn)用概率思考問題的特點(diǎn)，初步形成用隨機(jī)觀念觀察、分析問題的意識。
                  學(xué)生將在必修課程學(xué)習(xí)統(tǒng)計的基礎(chǔ)上，通過對典型案例的討論，了解和使用一些常用的統(tǒng)計方法，進(jìn)一步體會運(yùn)用統(tǒng)計方法解決實(shí)際問題的基本思想，認(rèn)識統(tǒng)計方法在決策中的作用。
                  內(nèi)容與要求
                  1．計數(shù)原理(約14課時)
                  （1）分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理
                  通過實(shí)例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題。
                  （2）排列與組合
                  通過實(shí)例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實(shí)際問題。
                  （3）二項(xiàng)式定理
                  能用計數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理（參見例1）； 會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題。
                  2．統(tǒng)計與概率（約22課時）
                  （1）概率
                  ① 在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，認(rèn)識分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性。
                  ② 通過實(shí)例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用（參見例2）。
                  ③
                  在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單的實(shí)際問題（參見例3）。
                  ④
                  通過實(shí)例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題（參見例4）。
                  ⑤ 通過實(shí)際問題，借助直觀（如實(shí)際問題的直方圖），認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。
                  （2）統(tǒng)計案例
                  通過典型案例，學(xué)習(xí)下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問題。
                  ① 通過對典型案例（如"肺癌與吸煙有關(guān)嗎"）的探究，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用。
                  ②
                  通過對典型案例（如"質(zhì)量控制"、"新藥是否有效"）的探究，了解實(shí)際推斷原理和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、方法及初步應(yīng)用（參見選修系列1-2案例中的例1）。
                  ③ 通過對典型案例（如"昆蟲分類" ）的探究，了解聚類分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用。
                  ④ 通過對典型案例（如"學(xué)習(xí)成績與學(xué)習(xí)時間的關(guān)系"）的探究，了解回歸的基本思想、方法及其初步應(yīng)用。
                  說明與建議
                  1．分類加法計數(shù)和分步乘法計數(shù)是處理計數(shù)問題的兩種基本思想方法。教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計數(shù)原理分析、處理問題，而不應(yīng)機(jī)械地套用公式。同時，在這部分教學(xué)中，應(yīng)避免繁瑣的、技巧性過高的計數(shù)問題。
                  2．研究一個隨機(jī)現(xiàn)象，就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率，分布列正是描述了離散型隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律，二項(xiàng)分布和超幾何分布是兩個應(yīng)用廣泛的概率模型，要求通過實(shí)例引入這兩個概率模型，不追求形式化的描述。教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識解決一些實(shí)際問題。
                  3．統(tǒng)計案例的教學(xué)中，應(yīng)鼓勵學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)他們對數(shù)據(jù)的直觀感覺，認(rèn)識統(tǒng)計方法的特點(diǎn)（如統(tǒng)計推斷可能犯錯誤，估計結(jié)果的隨機(jī)性），體會統(tǒng)計方法應(yīng)用的廣泛性。應(yīng)盡量給學(xué)生提供一定的實(shí)踐活動機(jī)會，可結(jié)合數(shù)學(xué)建模的活動，選擇一個案例，要求學(xué)生親自實(shí)踐。對于統(tǒng)計案例內(nèi)容，只要求學(xué)生了解幾種統(tǒng)計方法的基本思想及其初步應(yīng)用，對于其理論基礎(chǔ)不做要求，避免學(xué)生單純記憶和機(jī)械套用公式進(jìn)行計算。
                  4．教學(xué)中，應(yīng)鼓勵學(xué)生使用計算器、計算機(jī)等現(xiàn)代技術(shù)手段來處理數(shù)據(jù)，有條件的學(xué)校還可運(yùn)用一些常見的統(tǒng)計軟件解決實(shí)際問題。
                  5．可以在二項(xiàng)式定理中介紹我國古代數(shù)學(xué)成就"楊輝三角"，在統(tǒng)計案例中介紹所學(xué)統(tǒng)計方法在社會生活中的廣泛應(yīng)用，以豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)文化價值的認(rèn)識。
                  參考案例
                  例1 二項(xiàng)式定理的證明。
                  是n個（a+b）相乘，每個（a+b）在相乘時，有兩種選擇，選a或b，由分步計數(shù)原理可知展開式共有2n項(xiàng)（包括同類項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；對于每一項(xiàng)akbn-k，它是由k個（a+b）選了a，n-k個(a+b)選了b得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個（a+b）中取k個a的組合數(shù)，將它們合并同類項(xiàng)，就得二項(xiàng)展開式，這就是二項(xiàng)式定理。

                  例2
                  高三（1）班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項(xiàng)游戲。在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同。游戲者一次從中摸出5個球，摸到
                  4個紅球的就中一等獎。求獲一等獎的概率。
                  從30個球中摸出5個球的組合數(shù)為：C305=142506;那么，
                  P（一等獎）= C104 C30-105-4/ C305=4200/142506≈0.029。
                  如果令X表示摸出紅球的個數(shù)，則X服從N=30，M=5，n=10，m=4的超幾何分布，那么
                  P（X=m）= Cnm CN-nM-m/ CNM。
                  例3
                  將一枚均勻硬幣隨機(jī)擲100次，相當(dāng)于重復(fù)做了100次試驗(yàn)，每次有兩個可能的結(jié)果（出現(xiàn)正面，不出現(xiàn)正面），出現(xiàn)正面的概率為1/2。
                  如果令 為硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，則 服從 的二項(xiàng)分布，那么 。
                  由此可以得到："隨機(jī)擲100次硬幣正好出現(xiàn)50次正面"的概率為 。
                  學(xué)生在學(xué)習(xí)概率時會有一種誤解，認(rèn)為既然出現(xiàn)正面的概率為1/2，那么擲100次硬幣出現(xiàn)50次正面是必然的，或者這個事件發(fā)生的概率應(yīng)該很大。但計算表明這概率只有8%左右。
                  例4
                  據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)下個月有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01。設(shè)工地上有一臺大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備有以下三種方案。
                  方案1：運(yùn)走設(shè)備，此時需花費(fèi)3800元。
                  方案2：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)2000元。但圍墻無法防止大洪水，當(dāng)大洪水來臨，設(shè)備受損，損失費(fèi)為60000元。
                  方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。此時大洪水來臨損失60000元，小洪水來臨損失10000元。
                  試比較哪一種方案好。
                  系列3，系列4
                  系列3，系列4分別由若干專題組成，每個專題1學(xué)分。
                  系列3包括：數(shù)學(xué)史選講、信息安全與密碼、球面上的幾何、對稱與群、歐拉公式與閉曲面分類、三等分角與數(shù)域擴(kuò)充等6個專題。系列4包括：幾何證明選講、矩陣與變換、數(shù)列與差分、坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講、初等數(shù)論初步、優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計初步、統(tǒng)籌法與圖論初步、風(fēng)險與決策、開關(guān)電路與布爾代數(shù)等10個專題。
                  系列3，系列4的素材比較豐富，隨著課程的發(fā)展，這些內(nèi)容將進(jìn)一步拓展、豐富和完善。
                  系列3，系列4所涉及的內(nèi)容都是基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不僅應(yīng)鼓勵那些希望在理工、經(jīng)濟(jì)等方面發(fā)展的學(xué)生積極選修，同時也應(yīng)鼓勵那些希望在人文、社會科學(xué)方面發(fā)展的學(xué)生選修這些課程。
                  系列3和系列4是為對數(shù)學(xué)有興趣和希望進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生而設(shè)置的，所涉及的內(nèi)容都是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性內(nèi)容，反映了某些重要的數(shù)學(xué)思想。有些專題是中學(xué)課程某些內(nèi)容的延伸，有些專題是通過典型實(shí)例介紹數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用方法。這些專題的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生的終身發(fā)展，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值的認(rèn)識，有助于學(xué)生進(jìn)一步打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高應(yīng)用意識。

                  專題力求深入淺出、通俗易懂，進(jìn)一步提高學(xué)生分析和解決問題的能力，讓學(xué)生掌握和體會一些重要的概念、結(jié)論和思想方法，體會數(shù)學(xué)的作用，發(fā)展應(yīng)用意識。
                  對于系列3，系列4的學(xué)習(xí)，應(yīng)提倡多樣化的學(xué)習(xí)方式，可以是教師講授，也可以是在教師指導(dǎo)下學(xué)生的自主探索和合作交流，還應(yīng)鼓勵學(xué)生獨(dú)立閱讀、寫專題總結(jié)報告等，力求使學(xué)生切身體會"做數(shù)學(xué)"是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑，獨(dú)立思考是"做數(shù)學(xué)"的基礎(chǔ)。
                  系列3，系列4的評價方式是不同的， 根據(jù)系列3內(nèi)容的特點(diǎn)，對學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的評價適宜采用定量與定性相結(jié)合的方式。
                  系列3
                  本系列包括：數(shù)學(xué)史選講、信息安全與密碼、球面上的幾何、對稱與群、歐拉公式與閉曲面分類、三等分角與數(shù)域擴(kuò)充等6個專題。
                  數(shù)學(xué)史選講
                  內(nèi)容與要求
                  通過生動、豐富的事例，了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程中若干重要事件、重要人物與重要成果，初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過程，體會數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神。

                  完成一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。對數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡、自己感興趣的歷史事件與人物，寫出自己的研究報告。
                  本專題由若干個選題組成，內(nèi)容應(yīng)反映數(shù)學(xué)發(fā)展的不同時代的特點(diǎn)，要講史實(shí)，更重要的是通過史實(shí)介紹數(shù)學(xué)的思想方法，選題的個數(shù)以不少于6個為宜。以下專題可供選擇。
                  1．早期算術(shù)與幾何--計數(shù)與測量
                  ◆ 紙草書中記錄的數(shù)學(xué)（古代埃及）。
                  ◆ 泥板書中記錄的數(shù)學(xué)（兩河流域）。
                  ◆ 中國《周髀算經(jīng)》、勾股定理（趙爽的圖）。
                  ◆ 十進(jìn)位值制的發(fā)展。
                  2．古希臘數(shù)學(xué)
                  ◆ 畢達(dá)哥拉斯多邊形數(shù)，從勾股定理到勾股數(shù)，不可公度問題。
                  ◆ 歐幾里德與《幾何原本》，演繹邏輯系統(tǒng)，第五公設(shè)問題，尺規(guī)作圖，公理化思想對近代科學(xué)的深遠(yuǎn)影響。
                  ◆ 阿基米德的工作：求積法。
                  3．中國古代數(shù)學(xué)瑰寶
                  ◆ 《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)（方程術(shù)、加減消元法、正負(fù)數(shù)）。
                  ◆ 大衍求一術(shù)（孫子定理）。
                  ◆ 中國古代數(shù)學(xué)家介紹。
                  4．平面解析幾何的產(chǎn)生--數(shù)與形的結(jié)合
                  ◆ 函數(shù)與曲線。
                  ◆ 笛卡爾方法論的意義。
                  5．微積分的產(chǎn)生--劃時代的成就
                  6．近代數(shù)學(xué)兩巨星--歐拉與高斯
                  ◆ 歐拉的數(shù)學(xué)直覺。
                  ◆ 高斯時代的特點(diǎn)（數(shù)學(xué)嚴(yán)密化）。
                  7．千古謎題--伽羅瓦的解答
                  ◆ 從阿貝爾到伽羅瓦（一個中學(xué)生數(shù)學(xué)家）。
                  ◆ 幾何作圖三大難題。
                  ◆ 近世代數(shù)的產(chǎn)生。
                  8．康托的集合論--對無限的思考
                  ◆ 無限集合與勢。
                  ◆ 羅素悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（哥德爾不完備定理）。
                  9．隨機(jī)思想的發(fā)展
                  ◆ 概率論溯源。
                  ◆ 近代統(tǒng)計學(xué)的緣起。
                  10．算法思想的歷程
                  ◆ 算法的歷史背景。
                  ◆ 計算機(jī)科學(xué)中的算法。
                  11．中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展
                  ◆ 現(xiàn)代中國數(shù)學(xué)家奮發(fā)拼搏，趕超世界數(shù)學(xué)先進(jìn)水平的光輝歷程。
                  說明與建議
                  1．本專題不必追求數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的系統(tǒng)性和完整性，通過學(xué)生生動活潑的語言與喜聞樂見的事例呈現(xiàn)內(nèi)容，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的重要思想和發(fā)展軌跡。本專題的內(nèi)容安排可以采取多種形式，既可以由古到今，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史；也可以從現(xiàn)實(shí)的、學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，追根溯源，回眸數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要事件和人物。例如，可以從"我們現(xiàn)在有多少種記數(shù)方法"出發(fā)，追溯歷史上的記數(shù)法（巴比倫的60進(jìn)制、英國的12
                  進(jìn)制、計算機(jī)的二進(jìn)制以及10進(jìn)制，二進(jìn)制與中國的八卦）。又如，可以從學(xué)生熟悉的π入手，漫談祖沖之的成果，用隨機(jī)數(shù)方法計算π，介紹古希臘和中國古代如何對待無理數(shù)、目前計算機(jī)可以算π到小數(shù)點(diǎn)后多少位等問題。
                  2．以上所提供的內(nèi)容僅僅是一種選擇，本專題內(nèi)容的安排可以根據(jù)具體情況，作適當(dāng)調(diào)整。內(nèi)容應(yīng)突出所蘊(yùn)涵的思想性，突出數(shù)學(xué)發(fā)展的軌跡，突出數(shù)學(xué)家刻苦鉆研的科學(xué)精神。內(nèi)容的選擇要符合學(xué)生的接受水平，呈現(xiàn)方式應(yīng)圖文并茂、豐富多彩，引起學(xué)生的興趣。
                  3．教學(xué)方式應(yīng)靈活多樣，可采取講故事、討論交流、查閱資料、撰寫報告等方式進(jìn)行。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡、自己感興趣的歷史事件與人物，寫出自己的研究報告。
                  信息安全與密碼
                  數(shù)論和代數(shù)在現(xiàn)代信息理論、信息安全中有許多重要的應(yīng)用。本專題將介紹和學(xué)習(xí)初等數(shù)論的某些知識（如整除與同余），以及數(shù)論在現(xiàn)代信息安全中的某些重要應(yīng)用，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在信息科學(xué)中的應(yīng)用，提高對數(shù)學(xué)的鑒賞力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

                  內(nèi)容與要求
                  1．初等數(shù)論的有關(guān)知識
                  （1）了解整除和同余，模 的完全同余系和簡化剩余系，歐拉定理和費(fèi)馬小定理，大數(shù)分解問題。
                  （2）了解歐拉函數(shù)的定義和計算公式，威爾遜定理及在素數(shù)判別中的應(yīng)用，原根與指數(shù)，模 的原根存在性，離散對數(shù)問題。
                  2．?dāng)?shù)論在信息安全中的應(yīng)用
                  （1）了解通訊安全中的有關(guān)概念（如明文、密文、密鑰）和通訊安全中的基本問題（如保密、數(shù)字簽名、密鑰管理、分配和共享）。
                  （2）了解古典密碼的一個例子：流密碼（利用模 同余方式）。
                  （3）理解公鑰體制（單項(xiàng)函數(shù)概念），以及加密和數(shù)字簽名的方法（基于大數(shù)分解的RSA方案）。
                  （4）理解離散對數(shù)在密鑰交換和分配中的應(yīng)用--棣弗-赫爾曼（Diffie-Hellman）方案。
                  （5）理解離散對數(shù)在加密和數(shù)字簽名中的應(yīng)用--蓋莫爾（El Gamal）算法。
                  （6）了解拉格朗日插值公式在密鑰共享中的應(yīng)用。
                  3．完成一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告
                  報告應(yīng)包括兩方面的內(nèi)容：（1）知識的總結(jié)。對信息安全有關(guān)內(nèi)容的理解和認(rèn)識，體會數(shù)學(xué)（數(shù)論和代數(shù)學(xué)）在信息安全中的作用。（2）拓展。通過查閱課外資料，對某些內(nèi)容和應(yīng)用進(jìn)行進(jìn)一步探討和思考。
                  說明與建議
                  1．本專題的教材編寫與教學(xué)應(yīng)力求深入淺出。教學(xué)時，教師應(yīng)注意介紹相關(guān)內(nèi)容（如通信技術(shù)的發(fā)展等）的歷史與背景，幫助學(xué)生理解信息安全中需要解決的問題以及如何利用公鑰體制解決這些問題，體會大數(shù)分解和離散對數(shù)等思想方法在現(xiàn)代信息安全中所起的作用。
                  2．在條件允許的情況下，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用計算機(jī)對下列問題進(jìn)行思考，編制程序、上機(jī)實(shí)驗(yàn)。
                  (1) 用輾轉(zhuǎn)相除計算最大公約數(shù)；
                  (2) 解同余方程 ；
                  (3) 判斷大整數(shù)是否為素數(shù)（用Wilson定理）；
                  (4) 大數(shù)分解。
                  球面上的幾何
                  我們生活在地球上，地球表面十分接近于一個球面。因此，在實(shí)際生活中，球面上的幾何(簡稱球面幾何)知識有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用。例如，大地（天體）測量、航空、衛(wèi)星定位等方面均需利用球面幾何的知識。在理論上，球面幾何是一個與歐氏平面幾何不同的幾何模型，是一個重要非歐幾何的數(shù)學(xué)模型，球面幾何在幾何學(xué)的理論研究方面，具有特殊的作用。
                  本專題將使學(xué)生了解一個新的數(shù)學(xué)模型--球面幾何，初步學(xué)習(xí)球面幾何的一些基本知識及其在實(shí)際中的一些應(yīng)用，通過比較球面幾何和歐氏平面幾何的差異和聯(lián)系，感受自然界中存在著豐富多彩的數(shù)學(xué)模型。類比是學(xué)習(xí)這個專題所用到的重要的思想方法，空間想像和幾何直觀能力是學(xué)好這個專題的關(guān)鍵。

                  內(nèi)容與要求
                  1.通過豐富的實(shí)際問題（如測量、航空、衛(wèi)星定位），體會引入球面幾何知識的必要性。
                  2.通過球面圖形與平面圖形的比較，感受球面幾何與歐氏平面幾何的異同。例如，球面上的大圓相當(dāng)于平面上的直線，球面上兩點(diǎn)之間的最短距離是大圓弧的劣弧部分，球冪定理。
                  3．通過對實(shí)例的分析，體會球面具有類似平面的對稱性質(zhì)。
                  4.了解球面上的一些基本圖形：大圓、小圓、球面角、球面二角形（月形）、極與赤道、球面三角形、球面三角形的極對稱三角形（簡稱球極三角形）。
                  5.通過球面幾何與歐氏平面幾何比較，探索歐氏平面圖形的哪些性質(zhì)能推廣到球面上，并說明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s,
                  s.a.s, a.s.a。
                  6.理解單位球面三角形的面積公式（S=A＋B＋C-π），由此體會球面三角形內(nèi)角和大于180O。
                  7.了解球面三角形全等的a.a.a定理。
                  8.利用球面三角形面積公式證明歐拉公式，體驗(yàn)球面幾何與拓?fù)鋵W(xué)的關(guān)系。
                  9.利用向量的叉乘（向量積）探索并證明球面余弦定理（
                  ）和球面上的勾股定理（即當(dāng)C=π/2時的球面余弦定理），能從球面的余弦定理推導(dǎo)出球面的正弦定理（ ）。
                  10.體會當(dāng)球面半徑無限增大時，球面接近于平面，球面的三角公式就變成相應(yīng)的平面三角公式。
                  11.初步了解另一種非歐幾何模型--龐加萊模型。
                  12.完成一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。報告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：（1）知識的總結(jié)。對本專題整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)容的理解，說明球面幾何與平面幾何中哪些公式（定理）是相同的，哪些公式有本質(zhì)差異；說明為什么相對于半徑來說很小的一小片球面可以作為一個平面來對待。（2）通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨(dú)立思考，進(jìn)一步思考幾何與現(xiàn)實(shí)空間的關(guān)系。（3）學(xué)習(xí)球面幾何的感受、體會。
                  說明與建議
                  1．本專題的重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生空間想像和幾何直觀能力。
                  2．教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生切實(shí)地感受利用球面幾何知識可以解決（或解釋）生活或生產(chǎn)中的一些實(shí)際問題。在介紹球面幾何時，讓學(xué)生通過歐氏平面幾何和球面幾何的類比，得到球面幾何的相關(guān)結(jié)論，促使學(xué)生思考平面幾何模型與球面幾何等非歐幾何模型的差異。
                  3．介紹球面幾何與歐拉公式，主要是為了開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，使學(xué)生了解一些非歐幾何模型，對學(xué)生掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法有很大幫助。
                  4．球面幾何涉及到大量的空間圖形的對稱性（變換），在條件允許的學(xué)校，教學(xué)中可以充分利用（CAI）多媒體技術(shù)。
                  對稱與群
                  對稱是自然界一種十分重要的性質(zhì)，像軸對稱、中心對稱。群是刻畫對稱性的數(shù)學(xué)概念，群論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要研究對象。
                  學(xué)生將從豐富的平面圖形對稱變換的實(shí)例入手，了解變換群的概念，學(xué)習(xí)群的表達(dá)方法，學(xué)會求出一些比較簡單的幾何圖形的對稱群，并進(jìn)一步體會群在研究事物對稱性質(zhì)和研究其他數(shù)學(xué)對象中的重要作用。
                  內(nèi)容與要求
                  1．通過豐富的對稱圖形，感受日常生活和現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量對稱現(xiàn)象。
                  2．了解剛體運(yùn)動的基本性質(zhì)。
                  3．通過分析圖形的不同對稱性和剛體運(yùn)動，尋求刻畫不同圖形對稱性的思想，逐步形成圖形對稱變換的概念。
                  4．結(jié)合簡單的具體圖形，找出其所有對稱變換。
                  5．結(jié)合具體的圖形實(shí)例，逐步形成對稱變換合成的概念，理解對稱變換合成的封閉性。
                  6．結(jié)合具體的圖形實(shí)例，通過操作認(rèn)識對稱變換滿足結(jié)合律。
                  7．結(jié)合具體的圖形實(shí)例，通過操作，理解恒等變換的概念，逆變換的概念及其性質(zhì)，針對具體的圖形能找出一個對稱變換的逆變換。
                  8．通過具體實(shí)例，建立變換群的概念，并初步了解抽象群的概念。
                  9.能借助幾何直觀會求出一些幾何圖形和具有一定對稱性的簡單化學(xué)分子模型的對稱群。
                  10．通過具體實(shí)例，了解一種群的表示方法--乘法表法。
                  11.從具體的實(shí)例入手，了解一種由較為簡單群構(gòu)造出較為復(fù)雜群的方法之一--直積。
                  12.了解群論在現(xiàn)實(shí)生活中的重要應(yīng)用，如晶體分類定理。
                  13．考察其他形式的對稱變換，如代數(shù)式。通過二次、三次方程的求解過程，了解代數(shù)方程根的對稱群的含義，并了解伽羅瓦利用群論方法解決方程根式解問題的科學(xué)史實(shí)，感受群論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重大作用。
                  14．完成一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。報告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：（1）知識的總結(jié)。對本專題整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)容的理解，對對稱的數(shù)學(xué)描述和群的概念的認(rèn)識。（2）拓展。通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨(dú)立思考，進(jìn)一步探討對稱在自然界中的廣泛性和群對刻畫對稱的作用。（3）學(xué)習(xí)本專題的感受、體會。
                  說明與建議
                  1.由于對稱變換、變換的合成（乘法）運(yùn)算等概念是比較抽象的概念，因此學(xué)習(xí)過程都應(yīng)從具體的實(shí)例和恰當(dāng)?shù)那榫骋�入，而不能從抽象的定義出發(fā)。
                  2.對于中學(xué)生來說，群是一個全新的學(xué)習(xí)對象。對稱變換群是把對稱變換作為一個運(yùn)算系統(tǒng)來研究，與過去所學(xué)習(xí)的數(shù)與代數(shù)式的運(yùn)算系統(tǒng)有很大的區(qū)別。因此本專題只能以比較簡單的具體的群為例。教學(xué)的重點(diǎn)在于使學(xué)生了解群在刻畫對稱性的作用，而盡量避免論述群的抽象定義和性質(zhì)。同時要求學(xué)生能通過具體的幾何圖形的分析，學(xué)會求出一些簡單幾何圖形的對稱群，在操作實(shí)踐過程中感受群的含義。
                  3.晶體分類與方程的伽羅瓦理論是群論的兩項(xiàng)重大應(yīng)用成果，在本單元不能詳細(xì)證明晶體分類定理和方程的伽羅瓦定理，但向?qū)W生介紹這兩項(xiàng)成果可以使學(xué)生感受現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究方法和特點(diǎn)，因此做好這種介紹性工作也是本單元的教學(xué)目標(biāo)之一。
                  歐拉公式與閉曲面分類
                  使用變換對幾何圖形進(jìn)行分類，是幾何學(xué)的重要內(nèi)容，揭示在不同變換下幾何圖形的不變性質(zhì)或不變量是研究這類問題的基本思想方法。本專題主要討論歐拉公式和歐拉示性數(shù)等重要的拓?fù)洳蛔兞浚�并利用它們對曲線、曲面進(jìn)行分類。
                  內(nèi)容與要求
                  1．復(fù)習(xí)已學(xué)過的變換，并使用它們對平面圖形分類
                  （1）復(fù)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、平面運(yùn)動、反射、全等、位似、伸縮、相似變換，以及對平面圖形分類。
                  （2）在上述變換下，探索什么幾何性質(zhì)是不變的。
                  （3）體會變換的一些基本特征：1-1對應(yīng)，連續(xù)。
                  2． 歐拉公式
                  （1）通過探索發(fā)現(xiàn)歐拉公式的過程，理解歐拉公式。
                  （2）理解歐拉公式的拓?fù)渥C明。
                  （3）使用歐拉公式解決一些問題（如探索正多面體的個數(shù)）。
                  （4）探索非歐拉多面形的面數(shù)、棱數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)的關(guān)系。
                  3． 理解曲面三角剖分的概念。
                  4． 會對一些曲面進(jìn)行三角剖分，并能計算它們的歐拉示性數(shù)。
                  5． 了解拓?fù)渥儞Q的直觀含義。
                  6． 知道一些拓?fù)洳蛔兞�，并能用它們對一些曲線、閉曲面進(jìn)行分類，了解一些曲線、閉曲面的分類結(jié)果。
                  7．了解拓?fù)渌枷氲囊恍��?yīng)用（如平面布線問題、一筆畫問題、布勞威爾不動點(diǎn)定理與經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定點(diǎn)問題、四色問題）。
                  8．完成一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。報告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：（1）知識的總結(jié)。本專題整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)容的理解，以及對數(shù)學(xué)變換思想的認(rèn)識。（2）拓展。通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨(dú)立思考，進(jìn)一步理解變換的不變量和曲面分類的思想。（3）學(xué)習(xí)本專題的感受、體會。
                  說明與建議
                  1．這部分內(nèi)容比較抽象，首先要復(fù)習(xí)中學(xué)階段學(xué)過的幾何變換以及分析在這些變換下不變的幾何性質(zhì)，并由此體會變換和變換不變量的思想。
                  2．引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)歐拉公式的過程，以及對歐拉公式證明的理解，幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性工作，這是一個非常好的范例。
                  3．三角剖分是研究圖形拓?fù)湫再|(zhì)的重要思想方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對具體曲面使用三角剖分的方法研究其性質(zhì)的過程，使學(xué)生通過操作和實(shí)踐學(xué)習(xí)和掌握三角剖分思想方法。
                  4．拓?fù)渥儞Q是一個非常抽象的概念，應(yīng)該關(guān)注學(xué)生對拓?fù)渥儞Q形象和直觀的理解，例如，把拓?fù)渥儞Q理解為橡皮變換，不要引導(dǎo)學(xué)生追求拓?fù)渥儞Q形式化的定義。
                  5．在介紹拓?fù)鋵W(xué)應(yīng)用時，應(yīng)注重對拓?fù)渌枷敕椒ǖ慕榻B，不追求嚴(yán)格化的敘述。
                  三等分角與數(shù)域擴(kuò)充
                  三等分角問題、倍方問題和圓為方問題被稱為古希臘的三大幾何作圖問題。解決這類問題的思想方法不僅在數(shù)學(xué)上,而且在人類的思想史上都具有重大意義。
                  本專題將通過對三等分角問題的討論使學(xué)生了解解決這類問題的基本思想方法，并能用此方法解決倍方問題和僅用圓規(guī)直尺不能作正七邊形的問題。另外還介紹用代數(shù)方法討論正十七邊形是可作圖的（即可用尺規(guī)作圖方法作出正十七邊形）。通過以上的討論，使學(xué)生體會和理解其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，提高分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。
                  內(nèi)容與要求
                  1．了解古希臘三大幾何作圖問題，通過三等分角問題了解它們的正確提法。在不限于圓規(guī)和直尺的前提下，了解三等分角的幾種不同做法。
                  2．理解解決三等分角問題的基本思路--刻畫尺規(guī)作圖的范圍。
                  3．給定線段a ,b ,會用尺規(guī)作圖方法作出長為a +b，a -b，ab，a/b 的線段。
                  4．對于給定的任何已知線段，若把它作為單位長, 則任一(正)有理數(shù)是可作圖的(即僅用圓規(guī)和直尺可作出該有理數(shù)長的線段)。
                  5．通過有理數(shù)對加、減、乘、除運(yùn)算的封閉性，了解有理數(shù)域和一般數(shù)域的概念。
                  6．設(shè)F 是一數(shù)域， 且 。證明：集合 也是一個數(shù)域，且F是集合的子集合。了解擴(kuò)域的概念。
                  7．給出一些數(shù)域、擴(kuò)域的具體實(shí)例。
                  8．給定長為a的線段,會用尺規(guī)作圖方法作出長為 的線段。
                  9．學(xué)會把三等分角問題代數(shù)化。
                  10．證明：不能用尺規(guī)作圖的方法三等分60度角。
                  11．用上述方法討論"倍方問題"或"用圓規(guī)和直尺不可能作出正七邊形"。
                  12．體會解決古希臘三大作圖問題的思想方法和它在人們思想認(rèn)識上的作用。
                  13．了解復(fù)數(shù)乘法的棣美弗公式，會用代數(shù)方法討論正十七邊形是可作圖的（即可用尺規(guī)作圖方法作出正十七邊形）。
                  14.
                  完成學(xué)習(xí)總結(jié)報告。報告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：（1）知識的總結(jié)。解決三等分角問題基本思路，清楚地表述證明的過程。體會和理解其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。（2）拓展。通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨(dú)立思考，進(jìn)一步體會幾何問題代數(shù)化的方法和處理幾何作圖問題的思想。（3）學(xué)習(xí)本專題的感受、體會。
                 

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